优化方法

因为很有可能会在局部最优，很难到达全局最优。所以需要优化：

最简单的就是将粒子个数设置大一点。但对于一些问题来说不够有效。

惯性权重

惯性权重取值一般是0.8-1.2之间

惯性权重越大越有利于全局搜索
惯性权重越小越有利于局部搜索

一般有以下几种优化方式：

参数解释

$w_{start}$：最开始的惯性权重，一般是0.9

$w_{end}$：最终的惯性权重，一般是0.4

$G$：最终迭代次数

$t$：当前代数

$N$：粒子群个体数

线性递减惯性权重

$w_t = w_{start} - (w_{start} - w_{end}) \times \dfrac{t}{G}$

每次迭代过程中加上这个公式的代码变换惯性权重。

非线性递减惯性权重

两种方式：

$w_t = w_{start} - (w_{start} - w_{end}) \times (\dfrac{t}{G})^2$ $w_t = w_{start} - (w_{start} - w_{end}) \times [\dfrac{2t}{G} - (\dfrac{t}{G})^2]$

自适应惯性权重

$f_{average}^t$ 表示第 t 次迭代时，所有粒子的平均适应度。

$f_{max}^t = max {f(x_1^t) , f(x_2^t) , \cdots , f(x_N^t) }$

$f_{min}^t = min {f(x_1^t) , f(x_2^t) , \cdots , f(x_N^t) }$

最小值问题

$w_i^t = \begin{cases} w_{start} + (w_{start} - w_{end}) \dfrac{f(x_i^t) - f_{min}^t}{f_{average}^t - f_{min}^t}, f(x_i^t) \le f_{average}^t \\ w_{start} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad ,f(x_i^t) \gt f_{average}^t \end{cases}$

最大值问题

$w_i^t = \begin{cases} w_{start} + (w_{start} - w_{end}) \dfrac{f_{max}^t - f(x_i^t)}{f_{max}^t - f_{average}^t}, f(x_i^t) \ge f_{average}^t \\ w_{start} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad ,f(x_i^t) \lt f_{average}^t \end{cases}$

随机惯性权重

$w = w_{end} + (w_{start} - w_{end}) \times rand + \sigma \times randn$

其中rand是 $[0, 1]$ 之间的均匀分布随机数。randn为正态分布的随机数。 $\sigma$ 为标准差，用来度量随机变量权重 $w$ 与其数学期望（均值）之间的偏离程度。

$\sigma \times randn$ 的目的是控制取值中的权重误差，使权重 $w$ 有利于向期望权重方向进化。

因子

很明显$c_1$和$c_2$对于速度的影响也比较大。

$c_1$较大会使粒子过多地在局部搜索。

$c_2$较大会使粒子过早收敛到局部最优解。

压缩因子法

引进新参数：收缩因子 $\Phi$

一般要求：$c_1 = c_2 = 2.05, C = c_1 + c_2 = 4.10$，收缩因子为

$\Phi = \dfrac{2}{\left | 2 - C - \sqrt{C^2 - 4C} \right | }$

其中， $c_1、c_2$ 的值可以不等于2.05，但是$C$要满足大于4。

引入收缩因子后，速度更新公式改为：

$v_{ij}(t+1) = \Phi \times [wv_{ij}(t) + c_1r_1(p_{ij}(t) - x_{ij}(t)) + c_2r_2(g_{ij}(t) - x_{ij})(t)]$

非对称学习因子

其实就是和权重类似，根据不同的迭代代数产生变化。

目的

在迭代初期采用较大的 $c_1$ ，较小的 $c_2$ ，即个体意识优先于集体意识。使得各个粒子可以快速寻找最优解。

在迭代后期采用较大的 $c_2$ ，较小的 $c_1$ ，即群体意识优先于个体意识。使得收敛到全局最优。
做法

$c_1$ 随着迭代次数的提升，递减

$c_2$ 随着迭代次数的提升，递增

公式：

参数的值是假设的

$c_1^{strat} = 2.5，c_1^{end} = 0.5, c_2^{start} = 1, c_2^{end} = 2.25$ $c_1^t = c_1^{start} + (c_1^{end} - c_1^{start}) \times \dfrac{t}{G}; \\ c_2^t = c_2^{start} + (c_2^{end} - c_2^{start}) \times \dfrac{t}{G}$